LR-Zerlegung mit Online-Rechner

Lösung eines linearen Gleichungssystems

Seite zuletzt aktualisiert: 15.12.2023

Für die Berechnung der Matrizen L und R per Hand gibt es mehrere Wege. Einer der einfachsten und kompaktesten wird im Folgenden beschrieben.

Ausgangspunkt ist die vorgegebene Matrix A. Auf der linken Seite befindet sich eine zunächst leere Hilfsspalte.

	2	8	1	· (-2)	· 0,5
2	4	4	-1
-0,5	-1	2	12

Wir berechnen den Quotienten \(\, a_{21} : a_{11} \,\), also \(\, 4 : 2 = 2 \,\) und schreiben ihn links neben die zweite Zeile der Matrix A (rot). Gleichzeitig dient dieser Quotient mit umgekehrtem Vorzeichen als Zeilenfaktor für die Zeile 1, um durch Addition der ersten und zweiten Zeile an der Position \(\, a_{21} \,\) eine Null zu erzeugen.

Wir berechnen den Quotienten \(\, a_{31} : a_{11} \,\), also \(\, -1 : 2 = -0,5 \,\) und schreiben ihn links neben die dritte Zeile der Matrix A (blau). Dieser Quotient dient mit umgekehrtem Vorzeichen als Zeilenfaktor wiederum für die erste Zeile, um durch Addition der ersten und dritten Zeile an der Position \(\, a_{31} \,\) eine Null zu erzeugen.

Wir führen die zwei Zeilenumformungen durch, notieren aber an Stelle der zwei erzeugten Nullen in der ersten Spalte die beiden berechneten Quotienten aus der Hilfsspalte. Die Matrix sieht dann so aus (ohne die grünen Zahlen):

	2	8	1
	2	-12	-3	· 0,5
-0,5	-0,5	6	12,5

Nun muss noch der schwarz umrahmte Teil auf Dreiecksgestalt gebracht werden.

Wir berechnen den Quotienten \(\, a_{32} : a_{22} \,\), also \(\, 6 : (-12) = -0,5 \,\) und schreiben ihn links neben die dritte Zeile der Matrix A (grün). Dieser Quotient dient mit umgekehrtem Vorzeichen als Zeilenfaktor für die zweite Zeile, um durch Addition der zweiten und dritten Zeile an der Position \(\, a_{32} \,\) eine Null zu erzeugen.

Wir führen diese Zeilenumformung durch, notieren aber an Stelle der Null an Position \(\, a_{32} \,\) den Quotienten aus der Hilfsspalte.

Die Matrix sieht nun so aus:

2	8	1
2	-12	-3
-0,5	-0,5	11

Aus dieser Ergebnismatrix kann man nun die L- und die R-Matrix ablesen. Die blauen Felder (rechts oben plus Hauptdiagonale) ergeben die R-Matrix, wobei unterhalb der Hauptdiagonalen Nullen ergänzt werden.

Die drei gelben Felder ergeben die L-Matrix, wobei hier auf der Hauptdiagonalen lauter Einsen zu ergänzen sind:

L-Matrix		R-Matrix
1 0 0 2 1 0 -0,5 -0,5 1		2 8 1 0 -12 -3 0 0 11

Um unterhalb der Diagonale Nullen zu erzeugen, braucht man auf der Diagonalen Koeffizienten ungleich null. Das macht manchmal Zeilenvertauschungen unumgänglich.

Um Rundungsfehler zu minimieren, kann man aus den zur Verfügung stehenden Koeffizienten einer Spalte den größten auswählen und ihn durch Zeilenvertauschung zum Diagonalelement machen. Diesen Vorgang bezeichnet man als die "Wahl des Pivot-Elements" (franz. pivot = Dreh- und Angelpunkt).

Diese sog. Spaltenmaximumstrategie kann wesentlich verbessert werden, wenn man zur sog. relativen Spaltenmaximumstrategie übergeht. Hierbei dividiert man jede Zeile der Matrix A so durch eine Zahl, dass der Betrag aller Koeffizienten dieser Zeile maximal 1 ist. Erst nach dieser "Relativierung" der Zahlenwerte wird dann der größte Koeffizient der betreffenden Spalte als Pivot-Element ausgewählt.

Dieser Rechenvorgang und die Auswahl des Pivot-Elements finden im Hintergrund statt. Die Koeffizienten der Matrix werden nicht verändert.

Um in der ersten Spalte der Matrix A (Beispiel oben) das Pivot-Element zu finden, würde die Matrix folgendermaßen umgeformt werden:

2	8	1	: 8
4	4	-1	: 4
-1	2	12	: 12

0,25	1	0,125
1	1	-0,25
-0,083	0,167	1

In der ersten Spalte ist \(\, a_{21} = 1 \,\) das größte Element. Es werden also die erste und die zweite Zeile vertauscht, so dass die \(\, 4 \,\) aus der zweiten Zeile als Pivot-Element ganz oben steht.

Auf die gleiche Weise werden dann die Pivot-Elemente für die restlichen Spalten ausgewählt.

 

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